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河图洛书，传说是中国远古时代流传下来的两幅神秘图案。“河图”是上古伏羲时，一尊叫作“龙马”的神兽从黄河里驮出来的，伏羲据此画出了八卦；而“洛书”则是大禹时，一只从洛河里浮出的神龟背上的图案，大禹据此作出了《洪范》九畴。
因此，河图洛书被认为蕴含了天地之理，是中华文明的源头之一。今天我们主要来看“洛书”，常见的黑白点“洛书”如上图。图中以白点表示阳数，即奇数；黑点表示阴数，即偶数。
关于这个图式，自古传有一句口诀：戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。如果将这些黑白点用数字来表示，就可以得到九宫图：
我们将这个图改动一下，奇数（阳数）放在外围，偶数（阴数）放在内圈，仍以5居中央，如下图：
实际上，这个图还是“洛书”，只是把黑白点用数字来表示，然后把偶数和奇数分列内圈和外围。这时我们发现，图中存在一种神奇的“乘法循环现象”，具体来说：
先看外围的奇数：
一乘一为一，原地循环。
三乘三为九，得九数；九乘三为二十七，得七数（取个位数，下同）；七乘三为二十一，得一数；一乘三为三，得三数。外围顺时针一周，又回到了三。继续下去则重复循环。
七乘七为四十九，得九数；九乘七为六十三，得三数；三乘七位二十一，得一数；一乘七为七，得七数。外围逆时针一周，又回到了七。继续下去则重复循环。
九乘九为八十一，得一数；一乘九为九，得九数。在一和九之间来回循环。
再来看内圈的偶数，也是同样现象：
二乘二为四，得四数；四乘二为八，得八数；八乘二为十六，得六数；六乘二为十二，得二数。内圈逆时针一周，又回到了二。继续下去则重复循环。
四乘四为十六，得六数；六乘四为二十四，得四数。在四和六之间来回循环。
六乘六为三十六，得六数，原地循环。
八乘八为六十四，得四数；四乘八为三十二，得二数；二乘八为十六，得六数；六乘八为四十八，得八数。内圈顺时针一周，又回到了八。继续下去则重复循环。
中央：五乘五为二十五，得五数，原地循环。
也就是说，从某数出发，以该数为乘数，相乘所得之积（若不是个位数，则仅取个位数）再乘以该数；所得之积（仅取个位数）再乘以该数……如此继续下去，就一定会回到该数。有的是原地循环，有的是在两数间来回循环，有的则是经过四步又回到原地。
而且，外围的奇数和内圈的偶数都分别有：一个原地循环（1、6），一个来回循环（4、9），一个顺时针的四步循环（3、8）和一个逆时针的四步循环（2、7）。
了解河图的朋友可能已经看出来了，这正是“河图”的数对：一六共宗，二七同道，三八为朋，四九为友。
这其中应该有着某种数理，有没有哪位高手能证明一下呢？
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